Các bài toán về chữ số tận cùng

Thứ sáu - 30/11/2018 10:31
Các bài toán về chữ số tận cùng hay liên quan tới chữ số tận cùng là các bài toán hay. Khi các em học sinh lớp 5 lên lớp 6 sẽ tiếp tục được tìm hiểu thêm các bài toán này khi được học thêm các tính chất về tính chia hết.
Bài viết đưa ra cách giải các bài toán liên quan tới việc tìm chữ số tận cùng hoặc những chữ số tận cùng của tích các thừa số thông qua nhiều ví dụ cụ thể.
Kiến thức cơ bản
Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0.
- Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cựng bằng 5.
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5
- Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.
- Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1.
- Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6.
- Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.
- Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.
Chữ số tận cùng là các chữ số 0
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.
- Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số  só tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;…..khi nhân với một chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết chia 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.
- Tích của hai số có chữ số không tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng  0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 (không thể tận cùng bằng 2; 3 ; 7 hoặc 8)
Bài tập vận dụng   
Ví dụ 1:
Cho A = 3 x 3 x 3 x 3 x………..x 3 x 3 (tích này có 2013 chữ số 3). Hỏi tích này tận cùng là chữ số nào?
Giải: Ta thấy: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.
Vì 2013 : 4 được thương là  503 (chữ số 1) và dư 1 ( 1 chữ số 3)
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.         
Ví dụ 2: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
                             8 x 18 x 28 x 38 x ………x 198.
Giải:
Số thừa số của tích này là:      (198 – 8) : 10 + 1 = 20 (số hạng) (1)
Ta thấy tích 4 thừa số có tận cùng là 8 có tận cùng là 6. Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6. Vậy kết quả của tích trên có chữ số tận cùng là 6.
Ví dụ 3:  Tìm chữ số tận cùng của tích sau:
                             15 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25 x 27 x 29 x……………x 2011 x 2013.
Gợi ý: Áp dụng lí thuyết ta có kết quả chữ số tận cùng là 5.
Ví dụ 4: Cho X = A -  B, biết:
                   A = 3 x 13 x 23 x…….x 2003 x2013
                   B = 2  x 12 x 22 x ……..x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?
Giải:
A có số các thừa số là: 202 số.
B có số các thừa số là: 202 số.
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.                  
Vì 202 : 4 có thương là 50 dư 2 nên A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) với 2 thừa số tận cùng là 3. Vì thế A có tận cùng là 9.
Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 được thương là 50 dư 2 nên B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) với 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2. Vì thế B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.
Ví dụ 5: Cho    
A = 2012 x 2012 x 2012 x…….x 2012 x 2012 (2013 thừa số 2012)
B = 2013 x 2013 x 2013  x ……..x 2013  x 2013 (2012 thừa số 2013)
Hỏi A + B chia cho 5 có số dư là bao nhiêu?
Gợi ý: Làm tương tự bài trên sẽ có A + B có chữ số tận cùng là 3. 
Ví dụ 6:  Cho  H = 1234567891011121314151617…….được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số H có chữ số tận cùng là chữ số nào?
Giải:
Ta có từ 1 đến 9 có 9 số, mỗi số gồm 1 chữ số.
Từ 10 đến 99 có 90 số, mỗi số gồm 2 chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có  90 x 2 = 180 (chữ số).
Mà 9 < 121 < 189 nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số.
Số chữ số của các số có 2 chữ số viết ở H là: 121 – 9 = 112(chữ số)
Số các số có 2 chữ số viết viết ở H là 112 : 2 = 56
Số thứ 56 kể từ 10 có 2 chữ số là : 10 + (56 - 1) = 65                   
Vậy chữ số tận cùng của H là chữ số 5 (là chữ số hàng đơn vị của số 65)
Ví dụ 7: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x ... x 89.
Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
- Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.
- Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80 . Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.
- Tích có các thừa số: 25; 50; 75  khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.
- Vậy M có số chữ số 0 tận cùng là: 7 + 7 + 6 = 20 (chữ số)
Ví dụ 8: Tích : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x…..x 45 x 46 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích tận cùng có 10 chữ số 0.
Ví dụ 9: Tích : 4 x  11 x 15 x 6  x 17  x 25  x 45  tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích có 3 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 10: Tích 5 x 6 x 11 x 17 x ………x 118 x 191 có hai chữ số tận cùng là những  chữ số nào?
 Kết quả: Tích có hai chữ số tận là 00.
Ví dụ 11: Cho N = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x………x 30 x 31. Hỏi tổng của 6 chữ số tận cùng của N là bao nhiêu?
Kết quả: 0.
Ví dụ 12: Cho P = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x………x 2012 x 2013 x 2014. Gạch bỏ các thừa số chia hết cho 5 ta được Q. Hỏi chữ số tận cùng của Q.
Giải: 
 P là tích có số thừa số là: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
 Trong đó, số thừa số chia hết cho 5 là: (2010 – 5) : 5 + 1 = 402 ( số hạng)
Q là tích có số thừa số là: 2014 – 402 = 1612(số hạng)   (1)
Ta thấy tích của 4 thừa số liên tiếp trong Q có  chữ số tận cùng là 4.
Chia thành các nhóm có tích mà chữ số tận cùng là 4 ta có số nhóm là: 1612 : 4 = 403 
Tích của tích các thừa số của hai nhóm là tích của hai số có chữ số tận cùng là 4 nên được kết quả có tận cùng là 6.
Vì vậy: 403 : 2 được thương là  201 và  dư 1 nên Q tận cùng là chữ số 4.
Ví dụ 13: Biết : 26x 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 165765### (mỗi dấu # là một chữ số).
Không thực hiện phép nhân, hãy tìm kết quả đúng.
Giải:
Tích trên có thể phân tích như sau: 26 x 5 x 5 x 8 x 3 x 23 x 22 x 3 x 7.
Khi 5 nhân với một số chẵn thì có tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích có tận cùng là hai chữ số 0.
Vậy ta có kết quả là số có dạng: 165765#00
Mà ta thấy tích trên chia hết cho 9 ( 3 x 3) nên tổng các chữ số của số 1657#00 chia hết cho 9.
          Số 165765#00 có tổng các chữ số là:
          1 + 6 +5 + 7 + 6 + 5 + # + 0 + 0 = 30 + #
Ta thấy:  30 + # chia hết cho 9 thì # = 6.
Kết quả đúng là: 165765600.
Ví dụ 14: Không thực hiện tính, hãy kiểm tra kết quả sau chia hết chia 5 đúng hay sai?
                   A = (17 x 28 x 39 x 126 x 45 ) -  (8 x 19 x 207 x 16 x 65 )
Gợi ý: A có chữ số tận cùng là 0.
Ví dụ 15: Hãy kiểm tra kết quả đúng hay sai?
                             abcd x abcd = 1661522
(với a, b, c, d là các chữ số).
Gợi ý: Sai vì tích không thể có chữ số tận cùng là 2.
Ví dụ 16: Hùng tính tích:
                              2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 333 999
Hãy cho biết Hùng tính đúng hay sai?
Gợi ý: Tích tận cùng là chữ số 0.
Ví dụ 17: Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1000000. Bạn hãy cho biết :
1) Phép chia có dư không ?
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu ?
Giải:
Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0.
Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên cứ tận cùng là chữ số 0.
Ví dụ 18: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng bằng 24 024
Giải:
Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0, trái với kết quả đã cho.
Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9
Ta có : 24 024 > 10 000  = 10 x 10 x 10 x 10 và 24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20
Nên tích của 4 số đó là: 11 x 12 x 13 x 14 hoặc 16 x 17 x 18 x 19
Có  : 11 x 12 x 13 x 14 = 24 024
         16 x 17 x 18 x 19 = 93 024.
Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14.
                                                                                                Nguyễn Chiến Thắng 
                                                                                    (Trường tiểu học Sơn Thọ, Vũ Quang, Hà Tĩnh) 

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

Văn bản mới

83/HD-UBND

Hướng dẫn số 83/HD-UBND Đánh giá và phân loại hàng năm đối với cán bộ công chức,viên chức, lao động hợp đồng theo nghị định số 68/2000/NĐ-CP làm việc trong cơ quan hành chính, đơn vị sự nghiệp công lập thuộc UBND huyện Quốc Oai

Thời gian đăng: 30/11/2018

lượt xem: 3 | lượt tải:1

6267/QĐ-UBND

Kế hoạch thi thăng hạng giáo viên từ bậc IV lên bậc III trên địa bàn TP Hà Nội

Thời gian đăng: 20/11/2018

lượt xem: 11 | lượt tải:4

2688/HD-SNV

Hướng dẫn và phân loại hằng năm đối với cán bộ, công chức, viên chức, lao động hợp đồng theo Nghị định số 68/2000/NĐ-CP làm việc trong cơ quan hành chính, đơn vị sự nghiệp công lập thuộc UBND TP HN

Thời gian đăng: 30/11/2018

lượt xem: 4 | lượt tải:1

4973/SGDĐT-CTTT

Tổ chức các HĐ ngoại khóa, triển khai chương trình giáo dục di sản cho học sinh

Thời gian đăng: 19/11/2018

lượt xem: 8 | lượt tải:3

Công văn số 2313/UBND-VHTT

Đẩy mạnh tuyên truyền thực hiện quy tắc ứng xử trên địa bàn huyện Quốc Oai

Thời gian đăng: 19/11/2018

lượt xem: 6 | lượt tải:5

Công văn số 2269/UBND-GD& ĐT

Chuẩn bị và tổ chức lễ kỷ niệm ngày nhà giáo Việt nam 20/11

Thời gian đăng: 19/11/2018

lượt xem: 5 | lượt tải:4

2311/SGD&ĐT

Hỗ Trợ CBGV,NV có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn nhân ngày 20/11

Thời gian đăng: 08/11/2018

lượt xem: 15 | lượt tải:7

52/KH-GD&ĐT

Tăng cường các biện pháp đảm bảo an toàn Phòng cháy, chữa cháy, ứng phó, khắc phục, xử lý sự cố thiên tai và cứu nạn, cứu hộ trong các trường học năm học 2018-2019

Thời gian đăng: 19/11/2018

lượt xem: 8 | lượt tải:1

Kế hoạch số 150/KH-UBND

Giám sát về thực hiện chủ trương giao quyền tự chủ tài chính, tình hình thực hiện chế dộ tự chủ, tự chịu trách nhiệm về sử dụng biên chế và khoán kinh phí chi hành chính đối với các cơ quan, đơn vị thuộc Huyện

Thời gian đăng: 29/10/2018

lượt xem: 22 | lượt tải:11

Số 203/KH-BCĐ

Kế hoạch khám sức khỏe học sinh năm học 2018-2019

Thời gian đăng: 23/09/2018

lượt xem: 73 | lượt tải:24
Hỗ trợ khách hàng
Thành viên
Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site
Thu vien
chuyen hieu
hoc tin hoc
CB-GV
nhay sap
Doan thanh nien
tap the
mua
san truong.
Dang
Hoi nghi
Quảng cáo 1
Ben trai
Ben trai1
Canh quan
ben phai
Canh quan
Quảng cáo 2
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây